Dans un parallélogramme, la somme des carrés des diagonales égale la somme des carrés des côtés.
Si les longueurs des côtés sont notées L et \ell et les longueurs des diagonales sont D et d alors il s’agit de montrer l’égalité D^2+d^2 = 2\ell^2+2L^2.
Cela devient simple si l’on considère que notre parallélogramme a pour sommets
0, z, z’ et le dernier sommet est donc z+z’.
La longueur du grand côté est ici |z|, celle du petit côté est |z’|.
La longueur de la grande diagonale est |z+z’|. Enfin il faut se convaincre que
la longueur de la petite diagonale est |z-z’|.
\begin{eqnarray*} D^2 + d^2 = \left| z + z’ \right|^2 + \left| z – z’ \right|^2 & = & \left( z + z’ \right) \overline{\left( z + z’ \right)} + \left( z – z’ \right) \overline{\left( z – z’ \right)}\\ & = & z \bar{z} + z \overline{z’} + z’ \bar{z} + z’ \overline{z’} + z \bar{z} – z \overline{z’} – z’ \bar{z} + z’ \overline{z’}\\ & = & 2 z \bar{z} + 2 z’ \overline{z’} = 2 \left| z \right|^2 + 2 \left| z’ \right|^2 \\ & = & 2\ell^2+2L^2 \\ \end{eqnarray*}