L’intégrale d’une puissance de la fonction tangente
On montre que $$\int \:\tan ^n\left(x\right)\; \mathrm{d}x=\frac{\tan ^{n-1}\left(x\right)}{n-1}-\int \tan ^{n-2}\left(x\right)\; \mathrm{d}x$$ Etapes : \begin{align*} \int \:\tan ^n\left(x\right)\; \mathrm{d}x &= \int \tan ^{n-2}\left(x\right) \cdot \tan ^{2}\left(x\right)\; \mathrm{d}x \\ &= \int \tan ^{n-2}\left(x\right) \cdot \left(\frac{1}{\cos^2x}-1\right)\; \mathrm{d}x \\ &= \int \frac{\tan^{n-2}(x)}{\cos^2(x)} \; \mathrm{d}x \; – \int\tan^{n-2}(x)\; \mathrm{d}x \\ \end{align*} On pose et Par substitution, le premier terme du résultat précédent devient : \begin{align*}… Read more »