On montre que $$\int \:\tan ^n\left(x\right)\; \mathrm{d}x=\frac{\tan ^{n-1}\left(x\right)}{n-1}-\int \tan ^{n-2}\left(x\right)\; \mathrm{d}x$$
Etapes :
\begin{align*}
\int \:\tan ^n\left(x\right)\; \mathrm{d}x
&= \int \tan ^{n-2}\left(x\right) \cdot \tan ^{2}\left(x\right)\; \mathrm{d}x \\
&= \int \tan ^{n-2}\left(x\right) \cdot \left(\frac{1}{\cos^2x}-1\right)\; \mathrm{d}x \\
&= \int \frac{\tan^{n-2}(x)}{\cos^2(x)} \; \mathrm{d}x \; – \int\tan^{n-2}(x)\; \mathrm{d}x \\
\end{align*}
On pose \(u=\tan x\) et \(\displaystyle \mathrm{d}u = \frac{1}{\cos^2x}\mathrm{d}x\)
Par substitution, le premier terme du résultat précédent devient :
\begin{align*}
\int \frac{\tan^{n-2}(x)}{\cos^2(x)} \; \mathrm{d}x
&= \int u^{n-2}(x) \cdot u'(x) \; \mathrm{d}x \\
&= \int u^{n-2} \; \mathrm{d}u \\
&= \frac{u^{n-1}}{n-1} + C \\
&= \frac{\tan^{n-1}(x)}{n-1} +C
\end{align*}
Finalement : $$\int \:\tan ^n\left(x\right)\; \mathrm{d}x = \frac{\tan^{n-1}(x)}{n-1} \: – \: \int \tan ^{n-2}\left(x\right)\; \mathrm{d}x$$
Exemple : \begin{align*}
\int \:\tan ^4\left(x\right)\; \mathrm{d}x
&= \frac{\tan^{3}(x)}{3} \: – \: \int \tan ^{2}\left(x\right)\; \mathrm{d}x \\
&= \frac{\tan^{3}(x)}{3} \: – \: \int \left[\frac{1}{\cos^{2}}\left(x\right) – 1 \right] \; \mathrm{d}x \\
&= \frac{\tan^{3}(x)}{3} \: – \: \tan(x) \: + \: x \: + \: C
\end{align*}